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有哪些数学上的事实,没有一定数学知识的人不会相信?(1)

时间:2019-10-10

  原创学霸数学4天前我要分享

  什么?三角形内角和不等于180度,那是不是我学的是假数学?其实并非如此,三角形内角和180度是欧氏几何下的重要结论,90%以上的人认为三角形内角和180度是不可扞动的.实际上,1826年,在俄罗斯的喀山,数学家罗巴切夫斯基发表了一篇"有违常识"的演讲,他说平行线可以相交,三角形内角之和不等于180度等古怪的定理.当然,这是当时高斯发现但不敢发表的,这确实太有违普通大众的认知.而罗巴切夫斯基后来遭到攻击和嘲讽,晚年连大学教职都被剥夺了.

  

  实际上,欧氏几何里五条公设中,第五条一直在数学界存疑,但始终证明或者证伪.由第五条公设引发的争议一直就没有停止过,罗巴切夫斯基干脆将第五条公设改掉,新的公设与前四个公设竟然还是相容的,由此产生了一个全新的几何体系,这就是非欧几何,他的独立称为罗氏几何,在罗氏几何背景下,三角形内角和小于180度的.

  与罗氏几何对应的黎曼几何也属于非欧几何,当然黎曼是完全颠覆了欧氏几何的五条公设,在黎曼几何的背景下,三角形内角和是大于180度的.

  三角形内角和180度,这个在欧氏几何背景下才成立,三角形内角和不等于180度,没有掌握专业的数学知识,还真不一定会相信!

  整数如1,2,3,4,5,6,7,8,9......

  而偶数2,4,6,8,10,12,14,16,18.....

  

  两个偶数之间还有一个整数,例如2和4之间还有一个3,4和6中间还有一个5,很明显整数的个数比偶数多,这是平常人对数字多少的理解,这种理解方式在多数背景下是没有问题的,然而我要说整数与偶数个数一样多,多数人一定是不会相信的,接下来看我的不完全证明:

  从对应的角度看,一个整数都会对应一个偶数,1——2,2——4,3——6,4——8.....这样的话每出现一个整数,总会出现一个偶数,整数与偶数是一一对应的,所以它们的个数是相等的.从这个角度来讲,整数与偶数的个数是相等的.当然,这个证明方法表面上看没有问题,就像上述证明整数比偶数多一样,并不科学的.我再举一个例子说明一一对应证明个数相同并不科学.

  

  从三角形的顶点分别作射线,分别与AB、CD相交,相交的点则是一一对应的,AB和CD上的点的个数是相同的,那AB=CD,而实际上AB和CD明显不相等,所以用一一对应相等去证明个数相等或者线段相等都是不科学的.

  而实际上,初等数学到高等数学的本质区别在于有限与无限研究.初等数学中,"有限"背景下讨论的很多方法是符合人们的常规认知的,但是在"无限"背景下,这些常规的方法并不适用.必须得引入新的定义才能说清楚,否则就会陷入逻辑矛盾。就像整数与偶数的个数,其实数学上并不是用简单的个数来衡量,而是由集合论中集合的势来说明集合元素的个数.

  同样的在有穷背景下,旅馆的房间是可以住满的,但是如果有一个旅馆有无穷个房间,那无穷个人来住,到底能不能住满呢?

  

  有人说既然有无穷个人来住,对应有无穷个房间,那刚好可以住满的.其实,再来10个人,这个旅馆还能安排这些人住下.如何安排呢?你可以将1号房间挪到11号房间,2号房间挪到12个房间,.....那就可以多出10个房间,刚好安排新来的10个人入住.同理的,再来n个人来住,同样还可以安排,你可以将1号房间挪到2号房间,2号房间的人挪到4号,...就像整数与偶数对应一样,剩下了无穷个房间,那这些房间刚好可以安排新来的人入住.至此,无论来多少人,旅馆都可以想办法安排他们入住.那说明这个旅馆是住不满的.是不是很神奇,明明开头说住满了的.其实这就是有穷与无穷的区别,无穷背景下,需要新的理论来武装,才能完全弄明白到底怎么回事,而没有学过高等数学或者学懂高等数学的人,真的不会相信.

  数学就是如此折磨人,刚刚还讲整数与偶数个数一样多,怎么又出现了实数比正整数多呢?即使是说服了别人相信整数与偶数个数一样多,那你怎么说服别人相信实数比正整数多呢?是不是相当痛苦.接着上面所讲,持续很久的人们确实也陷入了这样的矛盾之中,直到康托创立的集合论,才有效的解决了类似的问题.在他的集合论中,它对元素有无穷个的集合进行了分类.分成两类,一类是元素能够与整数形成一一对应关系的叫可数集合,另一类是无素不能与整数形成一一对应关系的叫不可数集合.基数,用来表示集合大小的,并定义了可数集合的基数是一个数,而不可数集合的基础是另一个数,同时他证明了实数的基础比正整数要大,进而在集合论的背景下逻辑严密的证明实数比正整数多.当然,具体证明可以参考集合论,可能只有大学数学专业的同学才会学到,而非数学专业的同学很可能就不会相信这样的鬼话了.

  

  单看上述这句话,可能无数人都不会相信,更不要说它能用数学知识来证明.其实用数学语言来说,二维随机游走是常返的,3维的则不是.假设有一条水平直线,从某个位置出发,每次有50%的概率向右走1米,有50%的概率向走1米,按照这种方式无限地随机游走下去,最终能回到出发点的概率是多少?答案是100%。在一维随机游走过程中,只要时间足够长,我们最终总能回到出发点.

  

  而一个喝醉的酒鬼,他在街道上随机游走.假设整个城市的街道呈风格状分布,酒鬼每走到一个十字路口,都会概率均等的选择一条路继续走下去,那么他最终能回到出发点的概率还是100%,而找到回家的路,就不成问题.

  而喝醉的小鸟就没有这么幸运了,假如一个小鸟飞行时,每次都上下左右前后中概率均等地选择一个方向,那么它很有可能永远回不到出发点.事实上,在三维风格中随机游走,最终能够回到出发点的概率只有约34%.这个定理是着名数学家波利亚在1921年证明的.随着维度的增加,回到出发点的概率将变得越来越低.在四维风格中随机游走,最终能回到出发点的机率是19.3%,在八维空间中,这个概率只有7.3%.

  当然,上述事实都需要一定的专业数学知识才能明白,否则多数人很难相信!

  本文为一点号作者原创,未经授权不得转载

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  什么?三角形内角和不等于180度,那是不是我学的是假数学?其实并非如此,三角形内角和180度是欧氏几何下的重要结论,90%以上的人认为三角形内角和180度是不可扞动的.实际上,1826年,在俄罗斯的喀山,数学家罗巴切夫斯基发表了一篇"有违常识"的演讲,他说平行线可以相交,三角形内角之和不等于180度等古怪的定理.当然,这是当时高斯发现但不敢发表的,这确实太有违普通大众的认知.而罗巴切夫斯基后来遭到攻击和嘲讽,晚年连大学教职都被剥夺了.

  

  实际上,欧氏几何里五条公设中,第五条一直在数学界存疑,但始终证明或者证伪.由第五条公设引发的争议一直就没有停止过,罗巴切夫斯基干脆将第五条公设改掉,新的公设与前四个公设竟然还是相容的,由此产生了一个全新的几何体系,这就是非欧几何,他的独立称为罗氏几何,在罗氏几何背景下,三角形内角和小于180度的.

  与罗氏几何对应的黎曼几何也属于非欧几何,当然黎曼是完全颠覆了欧氏几何的五条公设,在黎曼几何的背景下,三角形内角和是大于180度的.

  三角形内角和180度,这个在欧氏几何背景下才成立,三角形内角和不等于180度,没有掌握专业的数学知识,还真不一定会相信!

  整数如1,2,3,4,5,6,7,8,9......

  而偶数2,4,6,8,10,12,14,16,18.....

  

  两个偶数之间还有一个整数,例如2和4之间还有一个3,4和6中间还有一个5,很明显整数的个数比偶数多,这是平常人对数字多少的理解,这种理解方式在多数背景下是没有问题的,然而我要说整数与偶数个数一样多,多数人一定是不会相信的,接下来看我的不完全证明:

  从对应的角度看,一个整数都会对应一个偶数,1——2,2——4,3——6,4——8.....这样的话每出现一个整数,总会出现一个偶数,整数与偶数是一一对应的,所以它们的个数是相等的.从这个角度来讲,整数与偶数的个数是相等的.当然,这个证明方法表面上看没有问题,就像上述证明整数比偶数多一样,并不科学的.我再举一个例子说明一一对应证明个数相同并不科学.

  

  从三角形的顶点分别作射线,分别与AB、CD相交,相交的点则是一一对应的,AB和CD上的点的个数是相同的,那AB=CD,而实际上AB和CD明显不相等,所以用一一对应相等去证明个数相等或者线段相等都是不科学的.

  而实际上,初等数学到高等数学的本质区别在于有限与无限研究.初等数学中,"有限"背景下讨论的很多方法是符合人们的常规认知的,但是在"无限"背景下,这些常规的方法并不适用.必须得引入新的定义才能说清楚,否则就会陷入逻辑矛盾。就像整数与偶数的个数,其实数学上并不是用简单的个数来衡量,而是由集合论中集合的势来说明集合元素的个数.

  同样的在有穷背景下,旅馆的房间是可以住满的,但是如果有一个旅馆有无穷个房间,那无穷个人来住,到底能不能住满呢?

  

  有人说既然有无穷个人来住,对应有无穷个房间,那刚好可以住满的.其实,再来10个人,这个旅馆还能安排这些人住下.如何安排呢?你可以将1号房间挪到11号房间,2号房间挪到12个房间,.....那就可以多出10个房间,刚好安排新来的10个人入住.同理的,再来n个人来住,同样还可以安排,你可以将1号房间挪到2号房间,2号房间的人挪到4号,...就像整数与偶数对应一样,剩下了无穷个房间,那这些房间刚好可以安排新来的人入住.至此,无论来多少人,旅馆都可以想办法安排他们入住.那说明这个旅馆是住不满的.是不是很神奇,明明开头说住满了的.其实这就是有穷与无穷的区别,无穷背景下,需要新的理论来武装,才能完全弄明白到底怎么回事,而没有学过高等数学或者学懂高等数学的人,真的不会相信.

  数学就是如此折磨人,刚刚还讲整数与偶数个数一样多,怎么又出现了实数比正整数多呢?即使是说服了别人相信整数与偶数个数一样多,那你怎么说服别人相信实数比正整数多呢?是不是相当痛苦.接着上面所讲,持续很久的人们确实也陷入了这样的矛盾之中,直到康托创立的集合论,才有效的解决了类似的问题.在他的集合论中,它对元素有无穷个的集合进行了分类.分成两类,一类是元素能够与整数形成一一对应关系的叫可数集合,另一类是无素不能与整数形成一一对应关系的叫不可数集合.基数,用来表示集合大小的,并定义了可数集合的基数是一个数,而不可数集合的基础是另一个数,同时他证明了实数的基础比正整数要大,进而在集合论的背景下逻辑严密的证明实数比正整数多.当然,具体证明可以参考集合论,可能只有大学数学专业的同学才会学到,而非数学专业的同学很可能就不会相信这样的鬼话了.

  

  单看上述这句话,可能无数人都不会相信,更不要说它能用数学知识来证明.其实用数学语言来说,二维随机游走是常返的,3维的则不是.假设有一条水平直线,从某个位置出发,每次有50%的概率向右走1米,有50%的概率向走1米,按照这种方式无限地随机游走下去,最终能回到出发点的概率是多少?答案是100%。在一维随机游走过程中,只要时间足够长,我们最终总能回到出发点.

  

  而一个喝醉的酒鬼,他在街道上随机游走.假设整个城市的街道呈风格状分布,酒鬼每走到一个十字路口,都会概率均等的选择一条路继续走下去,那么他最终能回到出发点的概率还是100%,而找到回家的路,就不成问题.

  而喝醉的小鸟就没有这么幸运了,假如一个小鸟飞行时,每次都上下左右前后中概率均等地选择一个方向,那么它很有可能永远回不到出发点.事实上,在三维风格中随机游走,最终能够回到出发点的概率只有约34%.这个定理是着名数学家波利亚在1921年证明的.随着维度的增加,回到出发点的概率将变得越来越低.在四维风格中随机游走,最终能回到出发点的机率是19.3%,在八维空间中,这个概率只有7.3%.

  当然,上述事实都需要一定的专业数学知识才能明白,否则多数人很难相信!

  本文为一点号作者原创,未经授权不得转载

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